陶哲轩实分析
前言
这是一本我老久就想做但是始终抽不出时间来好好研读的数学书籍（也是自己数学能力有限），这次希望能够好好坚持下去，
2.从头开始，自然数
2.2.1
利用数学归纳法和交换律以及之前定义的两个式子去做
证明：(a+b)+c=a+(b+c)
c=0时,左式=(a+b)+0=a+b,右式=a+(b+0)=a+b,等式左右两边成立
设(a+b)+c=a+(b+c)成立，则
左边=(a+b)+ c++=c++ +(a+b)=(a+b+c)++
右边=a+(b+c++)=a+(c++ +b)=a+(c+b)++=(b+c)++ a=(b+c+a)++=(a+b+c)++
左式=右式，证明成立
2.2.2
令a表示一个自然数，那么恰存在一个自然数b使得b++=a
证明：b=0时可知b++=1，1为自然数
设b++=a成立，
则b++++=a++
由公理2.2可知a为一个自然数时，a++也为一个自然数
证毕
2.2.3
（e刚开始思路错了，想用数学归纳法做）
证明:
(a) a \geqslant a
可知a=a+0,证毕
(b) a \geqslant b 且 b \geqslant c, 则 a \geqslant c
可得a=b+i,b=c+j则a=c+j+i
所以存在n=i+j使得a=c+n，使得a \geqslant c
(c) a \geqslant b且b \geqslant a 则a=b
a=b+i,b=a+j
a=a+i+j,由命题2.2.6可得i+j=0
由推论2.2.9可知 i=0且j=0，所以a=b成立
(d) a \geqslant b,则 a+c \geqslant b+c
a=b+q,所以a+c=b+d+c=b+c+q即a+c \geqslant b+c
(e) a<b 当且仅当a++ \leqslant b
a+q=b且a \neq b,现证明q \neq 0,若q=0，则左式=a，与条件矛盾，所以q \neq 0
不妨设p++=q,则a+q=a+(p++)=(a++)+p
即(a++)+p=b，也即 a++ \leqslant b
(f):事实上我们在证明(e)的过程中已经证明了(f)的结论。
若a=b+d,若a=b时可消除得d=0,若d=0可得a=b
所以这两个为等价命题,a \neq b化为d \neq 0
也即存在正自然数d使得a=b+d
2.2.4
b=0+b 所以0 \leqslant b
因为a > b,设a=b+d,a++=(b+d)++=b+d++且d++一定为正数
于是a++ > b
若a=b,a++=b++=b+1所以a++ > b
2.2.5
这里怎么想都出不来，答案说可以先看附录，所以先跳过
2.2.6
刚开始想的是推出P(n++)成立，结果想不出来，于是想先规定P(n++)为真，再接着推
设n=0时,可知满足m \leqslant n的m只有0，且P(n)即P(0)成立，故此时题设成立
现设m \leqslant n成立，讨论n++情况时，若P(n++)为真，则P(n)也为真
故我们可以得出m \leqslant n++时的自然数m都为真,至此题设证明成立
2.3.1
先证明0 \times m=m \times 0
m=0时,左式=右式=0 \times 0=0
设0 \times m=m \times 0=0成立
0 \times m++=0,m++ \times 0=m \times 0 +0=0,即左式=右式
所以0 \times m=m \times 0
现证： n \times m++=n \times m +n
n=0时，左式=0 \times m++=0,右式=0 \times m +0=0，此时成立
设 n \times m++=n \times m +n,则n++ \times m++=n \times (m++) +m++ =n \times m +n+m++=n \times m+m+n++=n++ \times m +n++
证明成功
现证n \times m=m \times n
m=0时由之前的证明可知成立
设n \times m=m \times n成立
n \times m++=n \times m +n,m++ \times n=m \times n +n=左式
证明成功
2.3.2
设a为正数，b为正数，证明ab为正数
b=0++时,a \times b=a \times 0++ =a \times 0 +a=a,为正数
设ab为正数,a \times b++=a \times b +a,可以知道a \times b和a都为正数,故题设成立，ab为正数
所以我们可以知道a和b均为正数时，ab为正数，且我们可以知道:
a=0,b \neq 0时ab=0
a=0,b=0时 ab=0
a \neq b时ab=0
故引理2.3.3得证
2.3.3
a=0时,(a \times b) \times c=(0 \times b) \times c=0 \times c=0
a \times (b+c)=0 \times (b+c)=0,即左式=右式
设(a \times b) \times c=a \times (b \times c)成立
(a++ \times b) \times c=(a \times b +b) \times c=(a \times b) \times c+b \times c
a++ \times (b \times c)=a \times (b \times c) +b \times c=(a \times b) \times c+b \times c证明成立
2.3.4
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2 +ba+ab+b^2=a^2+2ab+b^2
2.3.5
n=0时,可知mq=0且r=0,又因为q为正自然数,所以0 \leqslant r <q,且n=mq+r
设n=mq+r,n++=(mq+r)++=mq+r++
若r++=q，原式=mq+q=(m++) \times q=(m++) \times q +0,且0 \leqslant 0 <q，符合规律
若r++ \neq q,可得0 \leqslant r++ <q,所以原式成立
3.集合论
3.1.1
证明(1)A=A,(2)A=B \rightarrow B=A,(3)A=B,B=C \rightarrow A=C
从定义3.1.4出发,我们可知(前面的)A的任一元素都属于(后面的)A
且(后面的)A的任一元素都属于(前面的)A，故A=A
由A=B得A的任一元素都属于B且B的任一元素都属于A，
我们颠倒一下顺序可得
B的任一元素都属于A且A的任一元素都属于B即B=A，得证
由A=B得A的任一元素都属于B且B的任一元素都属于A，
由B=C得B的任一元素都属于C且C的任一元素都属于B,
由这两个可得A的任一元素都属于C且C的任一元素都属于A，即A=C
3.1.2
这题貌似有问题。。。我的网页md编辑器不支持\left{这种的语法，所以再遇到的话我就只能截图了。。。
可知没有任何一个元素属于 \emptyset
{\emptyset}有且只有一个元素为\emptyset,{{\emptyset}},有且只有一个元素{\emptyset},{\emptyset,{\emptyset}}为双元素集有且只有\emptyset,{\emptyset},由\emptyset的定义可知对于\emptyset，{ \emptyset }，{{\emptyset}}，{\emptyset,{\emptyset}}里都没有元素属于\emptyset即\emptyset \neq {\emptyset},\emptyset \neq {{\emptyset}},\emptyset \neq {\emptyset,{\emptyset}}。对于{\emptyset}，由\emptyset \neq {\emptyset}可知没有元素属于{{\emptyset}},{\emptyset,{\emptyset}}有两个元素,显然可知不相等，即{\emptyset} \neq {{\emptyset}}，{\emptyset} \neq {\emptyset,{\emptyset}}，对于{{\emptyset}}同理可知{{\emptyset}} \neq {\emptyset,{\emptyset}}，也即这四个互不相等